schema: EconSchema
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- name: a
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- name: m
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calcs:
WLSS: ((params.A)(1-params.a)(((calcs.KSS)/(params.L))^(params.a)))
KSS: ((params.L)((((params.a)(params.A))/(((1)/(params.B))-((1)-(params.dep))))^((1)/(1-params.a))))
SSS: ((calcs.YSS)-((calcs.CSS)/((params.B)((calcs.RSS)+(1)-(params.dep))))+((1-(params.dep))(calcs.KSS)))
YSS: ((params.A)((calcs.KSS)^(params.a))((params.L)^(1-params.a)))
RSS: ((params.a)(params.A)(((params.L)/(calcs.KSS))^(1-params.a)))
CSS: ((calcs.YSS)-((params.dep)(calcs.KSS)))
RSSSlim: ((calcs.YSS)-((calcs.CSS)/((params.B)((0.3)+(1)-(params.dep))))+((1-(params.dep))(calcs.KSS)))
SSSlim: ((calcs.YSS)-((calcs.CSS)/((params.B)((0.15)+(1)-(params.dep))))+((1-(params.dep))(calcs.KSS)))
PISS: ((calcs.YSS)-(((calcs.RSS)(calcs.KSS))+((calcs.WLSS)(params.L))))
KSSFLOW: (((params.dep)(calcs.KSS)))
layout:
FourGraphsPlusSidebar2:
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yAxis:
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objects:
#Função de Produção de Curto-prazo com Mesp = 0
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fn: "((params.A)((x)^(params.a))*(params.L)^(1-params.a))"
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#Função de Isolucro
- Curve:
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color: Black
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text: Y
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- Segment:
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b: [300,0]
color: Black
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label:
text: \ K
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- Segment:
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color: white
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text: calcs.KSS.toFixed(1)
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- Segment:
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text: calcs.YSS.toFixed(2)
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- Segment:
a: [calcs.KSS, calcs.YSS]
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- Segment:
a: [calcs.KSS, calcs.YSS]
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color: green
lineStyle: dotted
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- Point:
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objects:
#Função de Demanda de Capital
- Curve:
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label:
text: r(K)
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#Função de Oferta de Capital
- Curve:
fn: "(((calcs.CSS)/((params.B)((calcs.YSS)+((1-params.dep)(calcs.KSS))-(x))))-(1-(params.dep)))"
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text: r(K)
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- Segment:
a: [300,0]
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color: Black
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text: \ K
position: t
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- Segment:
a: [0 ,0.199]
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color: Black
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label:
text: r
position: r
fontSize: 14
- Segment:
a: [calcs.KSS, 0]
b: [calcs.KSS, 0]
color: white
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label:
text: calcs.KSS.toFixed(1)
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- Segment:
a: [0, calcs.RSS]
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text: calcs.RSS.toFixed(2)
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- Segment:
a: [0, calcs.RSS]
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text: calcs.RSS.toFixed(2)
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- Segment:
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- Point:
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objects:
#Função da Curva IS
- Curve:
fn: "((params.A)(params.a)((((params.A)(params.L))/(x))^((1-params.a)/(params.a))))"
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label:
x: 70
text: IS
color: blue
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- Point:
coordinates: [calcs.YSS, calcs.RSS]
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r: 5
- Segment:
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- Segment:
a: [0, calcs.RSS]
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color: green
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- Segment:
a: [0, calcs.RSS]
b: [0, calcs.RSS]
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text: calcs.RSS.toFixed(2)
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- Segment:
a: [calcs.YSS, 0]
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text: calcs.YSS.toFixed(2)
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- Segment:
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text: \ Y
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- Segment:
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text: \ r
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objects:
#Função de Demanda de Trabalho
- Curve:
fn: "((params.A)(1-params.a)(((calcs.KSS)/(x))^(params.a)))"
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text: w_{K}(L)
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#Função de Oferta de Trabalho
- Segment:
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- Segment:
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label:
text: L_{of}
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- Segment:
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lineStyle: dotted
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- Segment:
a: [params.L , 0]
b: [params.L, 0]
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label:
text: params.L.toFixed(1)
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- Segment:
a: [0, calcs.WLSS]
b: [0, calcs.WLSS]
color: white
bgcolor: "'#36a854'"
label:
text: calcs.WLSS.toFixed(2)
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- Segment:
a: [0,2.5]
b: [0, 2.5]
color: Black
bgcolor: white
strokeWidth: 1
label:
text: w_L
position: r
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- Segment:
a: [50,0]
b: [50,0]
color: Black
bgcolor: white
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text: \ L
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fontSize: 11
- Point:
coordinates: [params.L, calcs.WLSS]
color: black
r: 5
bottomRightGraph2:
xAxis:
min: 0
max: 50
ticks: 4
yAxis:
min: 0
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ticks: 10
sidebar:
controls:
- title: Modelo RBC — Equilíbrio Geral Com oferta de trabalho exógena
sliders:
- param: A
label: A
digits: 3
- param: a
label: \alpha
digits: 3
- param: B
label: \beta
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- param: dep
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- param: L
label: L
digits: 4
divs:
- html: '`Equilíbrio de Estado Estacionário (SS): $$\\pi = ${calcs.PISS.toFixed(2)}$$ $$ Y_{SS}=${calcs.YSS.toFixed(2)} $$ $$ L=${params.L.toFixed(2)} $$ $$ w_{L}= ${calcs.WLSS.toFixed(2)} $$ $$ K_{SS}= ${calcs.KSS.toFixed(1)} $$ $$ r_{SS}=${calcs.RSS.toFixed(2)} $$ $$ C_{SS} = ${calcs.CSS.toFixed(2)} $$ $$ I_{SS} = ${calcs.KSSFLOW.toFixed(2)} $$ `'
- html: 1. O Problema Intertemporal da Firma
- html: 'A Firma maximiza o valor-presente dos fluxos de lucros futuros descontados pela taxa de juros (r): $$\max_{\pi} \sum_{t=0}^{\infin}(\frac{1}{1+r_{t}})^{t} \pi_{t}$$ Sujeito a uma restrição tecnológica: $$Y_{t}=A_{t}F(K_{t},L_{t})$$ Se considerarmos que a estrutura de mercado é de competição perfeita, então o fluxo de lucros futuros das firmas é igual a zero em todos os períodos, logo $$\max_{\pi} \sum_{t=0}^{\infin}(\frac{1}{1+r_{t}})^{t} \pi_{t}$$ $$\Longleftrightarrow$$ $$\max_{\pi} \sum_{t=0}^{\infin}(\frac{1}{1+r_{t}})^{t} 0 = 0$$ A consequência analítica disso — e assumindo que as firmas contratam os fatores de produção período por período — é que a solução do problema intertemporal da firma pode ser obtido de maneira estática. $$$$ Ou seja, definindo o lucro em (t) como $$\pi_{t} = RT_t - CT_t$$ $$\Longleftrightarrow$$ $$\pi_{t} = P_t \cdot Y_t - (W_t \cdot L_t + r_t \cdot K_t)$$ Tomando a forma funcional da Função de Produção como uma Cobb-Douglas: $$A_t F(K_t,L_t)=A_t{K_{t}^{a}}{L_{t}^{1-a}}$$ e normalizando P=1, temos $$\pi_{t} = A_t{K_{t}^{a}}{L_{t}^{1-a}} - (W_t \cdot L_t + r_t \cdot K_t)$$ As Condições de Primeira Ordem são: $$\frac{\partial \pi}{\partial L}: (1-a)A_t{K_{t}^{a}}{L_{t}^{1-a}}-W_t=0$$ $$\frac{\partial \pi}{\partial K}: aA_t{K_{t}^{a-1}}{L_{t}^{a}}-r_t=0$$ Resolvendo para as respectivas remunerações dos fatores de produção e manipulando algébricamente, temos as seguintes Funções de Demanda por Trabalho (L) e Capital (K): $$W_t=\frac{(1-a)A_t{K_{t}^{a}}{L_{t}^{1-a}}}{L_t}=(1-a)\frac{Y_t}{L_t}$$ $$r_t=\frac{aA_t{K_{t}^{a}}{L_{t}^{1-a}}}{K_t}=a\frac{Y_t}{K_t}$$ Esse resultado é consequência da forma funcional dada pela função Cobb-Douglas e revela que a quantidade de cada fator de produção é proporcional ao valor da produção (lembrem que normalizamos P = 1). $$$$'
- html: 2. O Problema Intertemporal das Famílias
- html: 'As Famílias maximizam o valor-presente dos fluxos de Utilidades futuros proporcionados pelo consumo (C), descontados por uma taxa de desconto subjetiva ($\beta$): $$\max_{U} \sum_{t=0}^{\infin}\beta^{t} U(C_t), \ \ \ \ \ \ 0 \leq \beta \leq 1$$ Sujeito a uma restrição orçamentária intertemporal com oferta de Trabalho exógena ($\bar{L}$): $$C_t + I_t = W_t \bar{L} +r_t K_t$$ Tomando a forma funcional da Função de Utildade como sendo logarítmica: $$ U(C_t)=\log C_t$$ O problema se torna $$\max_{U} \sum_{t=0}^{\infin}\beta^{t} \ \log C_t, \ \ \ \ \ \ 0 \leq \beta \leq 1$$ sujeito à $$C_t + I_t = W_t \bar{L} +r_t K_t$$ Agora, precisamos definir como ocorre o processo de acumulação do estoque de Capital (K) na economia. A intuição é a de incorporar o efeito do processo de desgaste do estoque de Capital (K) nos fluxos de Investimento (I) da economia. $$$$ Dessa forma, podemos definir a dinâmica de Investimento (I) no tempo a partir da seguinte equação: $$I_t = K_{t+1} - (1-\delta)K_t$$ Ou seja, o fluxo de Investimento (I) é dado pela nova quantidade de Capital (K) em t + 1 deduzido do estoque de Capital (K) depreciado em t. $$$$ Substituindo na restrição orçamentária intertemporal, temos $$C_t + I_t = W_t \bar{L} +r_t K_t$$ $$\Longleftrightarrow$$ $$C_t + [K_{t+1} - (1-\delta)K_t] = W_t \bar{L} +r_t K_t$$ Dessa forma, a Função Lagrangiana (L) do problema é definida como: $$L=\sum_{t=0}^{\infin}\beta^{t} [\log C_t + \lambda_t (W_t L + r_t K + (1-\delta)K_t- K_{t+1} )] $$ As Condições de Primeira Ordem são: $$\frac{\partial L}{\partial C_t}: \beta^t (\frac{1}{C_t}-\lambda_t) = 0 \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \lambda_t = \frac{1}{C_t}$$ $$$$ $$\frac{\partial L}{\partial K_{t+1}}: -\beta^t \lambda_t + \beta^{t+1} \lambda_{t+1}(r_{t+1}+1-\delta) = 0$$ Substituindo a primeira Condição de Primeira Ordem na segunda e manipulando algebricamente, temos $$\frac{1}{C_t} = \frac{1}{C_{t+1}} (r_{t+1}+1-\delta)$$ $$\Longleftrightarrow$$ $$\frac{C_{t+1}}{C_t}=\beta (r_{t+1}+1-\delta)$$ A equação acima é a equação de Euler e é ela que determina a decisão das famílias entre Consumo (C) e Poupança (S) intertemporal. $$$$ A partir da equação de Euler podemos encontrar a função de oferta de poupança (S). Para isso, precisamos considerar que tudo o que não é consumido no período t é poupado, logo $$S_t = Y_t - C_t$$ Substituindo a Equação de Euler na definição de S, temos : $$S_t=Y_{renda} - \frac{C_{t+1}}{\beta(r_{t+1}+1-\delta)}$$ Essa é a função de oferta de poupança no período t. $$$$ Porém, precisamos lembrar que S = I, ou seja Poupança (S) é um fluxo, logo, dado que $$I = K_{t+1} - (1-\delta)K_t$$, então $$S = K_{t+1} - (1-\delta)K_t$$ Substiuindo na função de oferta de Poupança (S), temos: $$S_t=Y_{renda} - \frac{C_{t+1}}{\beta(r_{t+1}+1-\delta)}$$ $$\Longleftrightarrow$$ $$K_{t+1} - (1-\delta)K_t=Y_{renda} - \frac{C_{t+1}}{\beta(r_{t+1}+1-\delta)}$$ Resolvendo para r, encontramos: $$$$ $$r_{t+1} = \frac{C_{t+1}}{\beta[{Y_{renda}}+(1-\delta)K_{t+1} - K_{t}]} - (1-\delta) $$ Essa é a função de Oferta de Capital (K). $$$$'
- html: O equilíbrio de Estado Estacionário (SS)
- html: 'O equilíbrio de Estado Estacionário (SS) é encontrado da seguinte forma. Tomando a equação de Euler $$\frac{C_{t+1}}{C_t}=\beta (r_{t+1}+1-\delta)$$ No Estado Estacionário (SS), as variáveis endógenas do sistema não mudam. Ou seja, tomando o Consumo (C) como exemplo, no estado estacionário o consumo no período t é igual ao consumo no período t+1. $$$$ Portando, as equações do sistema se tornam $$1=\beta (r_{SS}+1-\delta)$$ $$W_{SS}=(1-a)\frac{Y_{SS}}{L_{SS}}$$ $$r_{SS}=a\frac{Y_{SS}}{K_{SS}}$$ $$r_{SS} = \frac{C_{SS}}{\beta[{Y_{SS}}+(1-\delta)K_{SS} - K_{SS}]} - (1-\delta) $$ $$I_{SS}=S_{SS}=\delta K_{SS}$$ $$Y_{SS}=A \cdot {K_{SS}^a} {L_{SS}^{1-a}}$$ $$C_{SS}=Y_{SS} - I_{SS}$$ Para encontrar o produto de Estado Estacionário ($Y_{SS}$), precisamos substituir a equação de Euler na função de Demanda de Capital (K), como resultado podemos encontrar $K_{SS}$ $$K_{SS}=\bar{L} [\frac{aA}{\frac{1}{\beta}-(1-\delta)}]^{\frac{1}{1-a}}$$ Substituindo $K_{SS}$ na Função de Produção, encontramos $$Y_{SS}=A\bar{L}[\frac{aA}{\frac{1}{\beta} - (1-\delta)}]^{\frac{a}{1-a}}$$ A partir de $Y_{SS}$, podemos encontrar todas as demais variáveis.$$$$'
- html: 3. Oferta e Demanda de Trabalho (L) no Estado Estacionário (SS)
- html: 'A função de demanda por fator Trabalho (L) é dada por: $$W_t=\frac{(1-a)A_t{K_{t}^{a}}{L_{t}^{1-a}}}{L_t}=(1-a)\frac{Y_t}{L_t}$$ No Estado Estacionário, ela fica como: $$W_{SS}=a\frac{Y_{SS}}{L}$$'
- html: 'A função de oferta de Trabalho (L) é exógena, dada pelo seguinte parâmetro:'
- html: '`$$L=\\bar{L} = ${params.L.toFixed(2)}$$`'
- html: 'O salário $W_{SS}$ de equilíbrio é encontrado substituindo o parâmetro $\bf{\bar{L}}$ na Função de Demanda por Trabalho (L)'
- html: '`$$W_{SS}(\\bar{L}) = (1-a) \\frac{Y_{SS}}{\\bar{L}} $$ $$\\Longleftrightarrow$$ $$W_{SS}(${params.L.toFixed(2)}) = (1-a) \\frac{Y_{SS}}{${params.L.toFixed(2)}} $$`'
- html: 4. Oferta e Demanda de Capital (K) no Estado Estacionário
- html: 'A função de demanda por Capital (K) é dada por: $$r_t=\frac{aA_t{K_{t}^{a}}{L_{t}^{1-a}}}{K_t}=a\frac{Y_t}{K_t}$$ No Estado Estacionário, ela fica $$r_{SS}=a\frac{Y_{SS}}{K}$$'
- html: 'A função de oferta de Capital (K) é dada por: $$r_{SS} = \frac{C_{t+1}}{\beta[{Y_{renda}}+(1-\delta)K_{t+1} - K_{t}]} - (1-\delta) $$ No Estado Estacionário, ela fica : $$r_{SS} = \frac{C_{SS}}{\beta[{Y_{SS}}+(1-\delta)K_{SS} - K_{SS}]} - (1-\delta) $$$$$$'
- html: 5. A Função da Curva IS
- html: 'A curva IS é obtida seguindo os passos a seguir. Tomando a Função de Produção com de equilíbrio no Estado Estacionário, temos: $$Y_{SS}=A \cdot K_{SS}^{a}\bar{L}^{1-a}$$ resolvendo para $K_{SS}$: $$K_{SS}=\left(\frac{Y_{SS}}{A\bar{L}^{1-a}}\right)^{\frac{1}{a}}$$ Substituindo $K_{SS}$ na Função de Demanda por Capital (K) $$r_{SS}=a \frac{Y_{SS}}{K_{SS}}$$ $$\Longleftrightarrow$$ $$$$ $$r_{SS}=a \frac{Y_{SS}}{\left(\frac{Y_{SS}}{A\bar{L}^{1-a}}\right)^{\frac{1}{a}}}$$ Agora, simplificando $$IS:r_{SS}(Y)=aA(\frac{A\bar{L}}{Y})^{\frac{1-a}{a}}$$ E temos a nossa IS! $$$$'